Объем правильной шестиугольной призмы равен v. определите объем призмы, вершинами которой являются середины сторон оснований данной призмы

объем правильной шестиугольной призмы равен v. определите объем призмы, вершинами которой являются середины сторон оснований данной призмы.

  • Смотрим приложенный к задаче рисунок.
    Если провести биссектрису СМ из С к ОН, то площади получившихся треугольников ОСМ, МСН и СНВ равны.
    Площадь ОСН=2 площади ВСН= 1/3 площади треугольника СОВ (половины треугольника АОС), а площадь СОД=2/3 площади треугольника АОВ.
    Поскольку площади оснований первой и второй призмы содержат соответственно по 6 треугольников, отношение площадей оснований этих призм равно 2/3.
    Высоты обеих призм одинаковы. Следовательно, объем меньшей призмы равен
    V₂=2/3V₁
    -----------------------------
    Есть и второе, более длинное и более громоздкое решение.
    Если принять сторону АВ=а, то сторона второй призмы СД будет равна высоте треугольника АОВ
    СД=(а√3 ):2
    Высота ОН треугольника СОД равна √3 (а√3 ):2):2=3а :4
    Площадь АОВ=(а²√3):4
    Площад СОД=(а√3 ):2)*(3а :4)=(3а²√3 ):8
    Площадь основания первой призмы относится к площади основания второй призмы как
    (а²√3):4
    (3а²√3 ) :8 и равна 2/3 от площади основания первой призмы.
    Отсюда объем второй призмы равен 2/3V


See also: