Дан пространственный четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезка

Дан пространственный четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками. а)Выполните рисунок к задаче. б) Докажите, что полученный четырехугольник – ромб.

  • середины сторон AB, BC, CD, DA - точки К, L, M, N, лежат в одной плоскости. 
    Действительно, 
    KN – средняя линия треугольника ABD, KN - параллельна BD, КN=BD/2. 
    LM – средняя линия треугольника CBD, LM - параллельна BD, LM=BD/2. 
    KN и LM параллельны, точки K, N, L, M лежат в одной плоскости. 
    КN=LM=BD/2 
    КNLM – параллелограмм (причём всегда, равенство диагоналей не использовали) 
    Аналогично, KL=MN=AC/2. 
    Т.к. AC=BD, то 
    KL=LM=MN=NK. 
    Параллелограмм, у которого все стороны равны – ромб.


See also: